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【概率图模型】S08E09 重采样:粒子滤波中的处理技巧求职学习资料

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本文介绍了【概率图模型】S08E09 重采样:粒子滤波中的处理技巧求职学习资料,有助于帮助完成毕业设计以及求职,是一篇很好的资料。

对技术面试,学习经验等有一些体会,在此分享。

1.粒子滤波采样流程解读

在上一讲中,我们已经得到了粒子滤波中$t-1$时刻和$t$时刻权重之间的关系:$w_t= p(x_t|z_t)w_{t-1}$,那么粒子滤波中的采样过程具体就描述如下,显然这是一个迭代的过程:

前提:在$t-1$时刻采样过程已完成

那么在$t$时刻,我们采样$N$个$z_t^{(i)}$样本点

$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim q(z_t|z_{t-1}^{(i)},x_{1:t})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}frac{p(x_t|z_t^{(i)})p(z_t^{(i)}|z_{t-1}^{(i)})}{q(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)},x_{1:t})}$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

由于我们选择了提议分布$q$:$q(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)},x_{1:t})=p(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)})=p(z_t^{(i)}|z_{t-1}^{(i)})$,则这个采样和权值迭代的过程就进一步简化为了:

$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

我简要的解读一下这个过程,实际上在时间$t$时刻,我们需要从分布$p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$中采样$N$个样本$z_t^{(i)}$,同时我们在上一步$t-1$时刻曾经也得到了一轮采样样本$z_{t-1}^{(1)},z_{t-1}^{(2)},z_{t-1}^{(3)},…,z_{t-1}^{(N)}$,其中每一个采样样本$z_{t-1}^{(i)}$对应的权重就是$w_{t-1}^{(i)}$。那么在时刻$t$的这一轮采样过程中,我们对于每一个采样样本$z_t^{(i)}$,仅仅通过$w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$的迭代计算,我们就能获得该样本点$z_{t}^{(i)}$的权重$w_t^{(i)}$。

那么每一轮的权重都可以通过这种方法获得,至于说初始时刻的$w_1^{(i)}$如何获取,

当$t=1$时,带入有$w_1^{(t)}= w_{0}^{(i)}p(x_1|z_1^{(i)})$,由于并没有$t=0$时刻,因此所有的$0$时刻权重$w_0^{(i)}$都处理为$1$。同时$t=1$时,$z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$中的$p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$也直接就是初始概率分布$p(z_1)$

那么我们把$t=1$时刻的情况带入,合并成完整的粒子滤波流程:

$t=1:$
$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_1^{(i)}sim p(z_1)$
$,,,,,,w_1^{(t)}= p(x_1|z_1^{(i)})$
$w_1^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_1^{(i)}=1$

$tge 2:$开始循环
$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

2.观测变量以及隐变量的关系分析

这里有一个点需要提醒一下大家:

【概率图模型】S08E09 重采样:粒子滤波中的处理技巧

图1 动态图模型结构

初始概率$p(z_1)$,状态转移概率$p(z_t|z_{t-1})$和发射概率$p(x_t|z_t)$,这三种概率在隐马尔可夫模型、卡尔曼滤波和粒子滤波中都有,但是他们的表现形式不同,我们总结回顾一下:

对于隐马尔可夫模型,初始概率$p(z_1)$取自于概率向量$pi$,而状态转移概率$p(z_t|z_{t-1})$和发射概率$p(x_t|z_t)$取自于状态转移概率矩阵$A$和发射概率矩阵$B$中的对应项

对于卡尔曼滤波,三个概率都必须服从高斯分布:$$p(z_t|z_{t-1})=N(Az_{t-1}+B,Q)$$$$p(x_t|z_t)=N(Cz_t+D,R)$$$$p(z_1)=N(mu_1,sigma_1)$$

而粒子滤波则没有任何约束,三个概率都可定义为任意函数形式:

1.粒子滤波采样流程解读

在上一讲中,我们已经得到了粒子滤波中$t-1$时刻和$t$时刻权重之间的关系:$w_t= p(x_t|z_t)w_{t-1}$,那么粒子滤波中的采样过程具体就描述如下,显然这是一个迭代的过程:

前提:在$t-1$时刻采样过程已完成

那么在$t$时刻,我们采样$N$个$z_t^{(i)}$样本点

$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim q(z_t|z_{t-1}^{(i)},x_{1:t})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}frac{p(x_t|z_t^{(i)})p(z_t^{(i)}|z_{t-1}^{(i)})}{q(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)},x_{1:t})}$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

由于我们选择了提议分布$q$:$q(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)},x_{1:t})=p(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)})=p(z_t^{(i)}|z_{t-1}^{(i)})$,则这个采样和权值迭代的过程就进一步简化为了:

$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

我简要的解读一下这个过程,实际上在时间$t$时刻,我们需要从分布$p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$中采样$N$个样本$z_t^{(i)}$,同时我们在上一步$t-1$时刻曾经也得到了一轮采样样本$z_{t-1}^{(1)},z_{t-1}^{(2)},z_{t-1}^{(3)},…,z_{t-1}^{(N)}$,其中每一个采样样本$z_{t-1}^{(i)}$对应的权重就是$w_{t-1}^{(i)}$。那么在时刻$t$的这一轮采样过程中,我们对于每一个采样样本$z_t^{(i)}$,仅仅通过$w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$的迭代计算,我们就能获得该样本点$z_{t}^{(i)}$的权重$w_t^{(i)}$。

那么每一轮的权重都可以通过这种方法获得,至于说初始时刻的$w_1^{(i)}$如何获取,

当$t=1$时,带入有$w_1^{(t)}= w_{0}^{(i)}p(x_1|z_1^{(i)})$,由于并没有$t=0$时刻,因此所有的$0$时刻权重$w_0^{(i)}$都处理为$1$。同时$t=1$时,$z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$中的$p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$也直接就是初始概率分布$p(z_1)$

那么我们把$t=1$时刻的情况带入,合并成完整的粒子滤波流程:

$t=1:$
$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_1^{(i)}sim p(z_1)$
$,,,,,,w_1^{(t)}= p(x_1|z_1^{(i)})$
$w_1^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_1^{(i)}=1$

$tge 2:$开始循环
$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

2.观测变量以及隐变量的关系分析

这里有一个点需要提醒一下大家:

【概率图模型】S08E09 重采样:粒子滤波中的处理技巧

图1 动态图模型结构

初始概率$p(z_1)$,状态转移概率$p(z_t|z_{t-1})$和发射概率$p(x_t|z_t)$,这三种概率在隐马尔可夫模型、卡尔曼滤波和粒子滤波中都有,但是他们的表现形式不同,我们总结回顾一下:

对于隐马尔可夫模型,初始概率$p(z_1)$取自于概率向量$pi$,而状态转移概率$p(z_t|z_{t-1})$和发射概率$p(x_t|z_t)$取自于状态转移概率矩阵$A$和发射概率矩阵$B$中的对应项

对于卡尔曼滤波,三个概率都必须服从高斯分布:$$p(z_t|z_{t-1})=N(Az_{t-1}+B,Q)$$$$p(x_t|z_t)=N(Cz_t+D,R)$$$$p(z_1)=N(mu_1,sigma_1)$$

而粒子滤波则没有任何约束,三个概率都可定义为任意函数形式:

1.粒子滤波采样流程解读

在上一讲中,我们已经得到了粒子滤波中$t-1$时刻和$t$时刻权重之间的关系:$w_t= p(x_t|z_t)w_{t-1}$,那么粒子滤波中的采样过程具体就描述如下,显然这是一个迭代的过程:

前提:在$t-1$时刻采样过程已完成

那么在$t$时刻,我们采样$N$个$z_t^{(i)}$样本点

$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim q(z_t|z_{t-1}^{(i)},x_{1:t})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}frac{p(x_t|z_t^{(i)})p(z_t^{(i)}|z_{t-1}^{(i)})}{q(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)},x_{1:t})}$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

由于我们选择了提议分布$q$:$q(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)},x_{1:t})=p(z_t^{(i)}|z_{1:t-1}^{(i)})=p(z_t^{(i)}|z_{t-1}^{(i)})$,则这个采样和权值迭代的过程就进一步简化为了:

$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

我简要的解读一下这个过程,实际上在时间$t$时刻,我们需要从分布$p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$中采样$N$个样本$z_t^{(i)}$,同时我们在上一步$t-1$时刻曾经也得到了一轮采样样本$z_{t-1}^{(1)},z_{t-1}^{(2)},z_{t-1}^{(3)},…,z_{t-1}^{(N)}$,其中每一个采样样本$z_{t-1}^{(i)}$对应的权重就是$w_{t-1}^{(i)}$。那么在时刻$t$的这一轮采样过程中,我们对于每一个采样样本$z_t^{(i)}$,仅仅通过$w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$的迭代计算,我们就能获得该样本点$z_{t}^{(i)}$的权重$w_t^{(i)}$。

那么每一轮的权重都可以通过这种方法获得,至于说初始时刻的$w_1^{(i)}$如何获取,

当$t=1$时,带入有$w_1^{(t)}= w_{0}^{(i)}p(x_1|z_1^{(i)})$,由于并没有$t=0$时刻,因此所有的$0$时刻权重$w_0^{(i)}$都处理为$1$。同时$t=1$时,$z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$中的$p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$也直接就是初始概率分布$p(z_1)$

那么我们把$t=1$时刻的情况带入,合并成完整的粒子滤波流程:

$t=1:$
$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_1^{(i)}sim p(z_1)$
$,,,,,,w_1^{(t)}= p(x_1|z_1^{(i)})$
$w_1^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_1^{(i)}=1$

$tge 2:$开始循环
$for ,,,i=1,2,…,N:$
$,,,,,,z_t^{(i)}sim p(z_t|z_{t-1}^{(i)})$
$,,,,,,w_t^{(t)}= w_{t-1}^{(i)}p(x_t|z_t^{(i)})$
$end:,,w_t^{(i)}$进行归一化,使得$sum_1^{N}w_t^{(i)}=1$

2.观测变量以及隐变量的关系分析

这里有一个点需要提醒一下大家:

【概率图模型】S08E09 重采样:粒子滤波中的处理技巧

图1 动态图模型结构

初始概率$p(z_1)$,状态转移概率$p(z_t|z_{t-1})$和发射概率$p(x_t|z_t)$,这三种概率在隐马尔可夫模型、卡尔曼滤波和粒子滤波中都有,但是他们的表现形式不同,我们总结回顾一下:

对于隐马尔可夫模型,初始概率$p(z_1)$取自于概率向量$pi$,而状态转移概率$p(z_t|z_{t-1})$和发射概率$p(x_t|z_t)$取自于状态转移概率矩阵$A$和发射概率矩阵$B$中的对应项

对于卡尔曼滤波,三个概率都必须服从高斯分布:$$p(z_t|z_{t-1})=N(Az_{t-1}+B,Q)$$$$p(x_t|z_t)=N(Cz_t+D,R)$$$$p(z_1)=N(mu_1,sigma_1)$$

而粒子滤波则没有任何约束,三个概率都可定义为任意函数形式:

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